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[jQuery] 曲线轨迹动画原理

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cat77的头像 楼主
发表于 2017-1-11 15:07:37 | 显示全部楼层 |阅读模式
  一.动画函数

  动画,是位移关于时间的函数:s = f(t)

  自变量是 t ,因变量是 s ,物体的位移随着时间变化,看起来就是动画,例如:
  1. // 已知
  2. var property = 'marginLeft';
  3. var s0 = 100;   // 起点
  4. var s1 = 200;   // 终点
  5. var duration = 1000;

  6. // 由题意得
  7. var S = s1 - s0;    // 总位移
  8. var T = duration;   // 总时间

  9. // 求任意时刻t对应的位移
  10. var t0 = +new Date();
  11. var tick, interval = 1000 / 60;
  12. setTimeout(tick = function() {
  13.     var t = +new Date() - t0;
  14.     // 完成度
  15.     var p = Math.min(t / T, 1);
  16.     // t时刻相对起点的位移s
  17.     var s = S * p;
  18.     document.body.style[property] = s0 + s + 'px';

  19.     if (p !== 1) setTimeout(tick, interval);
  20. }, interval);
复制代码

  marginLeft 从 100px 到 200px 均匀改变, body 先向右跳 100px ,然后在1秒内匀速向右移动 100px

  要实现这样的动画,面临的 唯一问题 是:已知总位移 S 和总时间 T ,求任意时刻 t 相对起点的位移 s

  我们实现了匀速直线运动,看起来好像没有用到 s = vt ,其实是有的:
  1. s = v * t
  2.   = (S / T) * t
  3.   = S * (t / T)
  4.   = S * p
复制代码

  因为动画函数是 s = f(t) ,里面没有 v ,需要把 v 换成已知量 ,因为完成度 p = t / T ,所以 动画也是位移关于完成度的函数

  二.匀变速运动

  同样的道理,换掉匀变速运动位移公式中的 v 和 a ,得到位移 s 关于时间 t 的函数

  匀加速

  位移公式:
  1. // v0 = 0时,只有一个未知量a
  2. s = 1/2at^2
复制代码

  已知总时间 T 、总位移 S 、完成度 p = t / T ,求任意时刻 t 相对起点的位移 s :
  1. // 终点处有
  2. S = 1/2 * a * T^2
  3. // 得
  4. a = 2S / T^2
  5. // 任意时刻
  6. s = 1/2 * a * t^2
  7.   = 1/2 * (2S / T^2) * t^2
  8.   = 1/2 * 2S * (t^2 / T^2)
  9.   = S * p^2
复制代码

  匀减速

  位移公式:
  1. // 含有2个未知量v0和a
  2. s = v0t - 1/2at^2
复制代码

  已知总时间 T 、总位移 S 、完成度 p = t / T ,求任意时刻 t 相对起点的位移 s :
  1. // 1.逆向匀加速求v0
  2. // 起点处有
  3. S = 1/2 * a * T^2
  4. // 得
  5. a = 2S / T^2
  6. v0 = aT = 2S / T^2 * T = 2S / T
  7. // 2.任意时刻
  8. s = v0 * t - 1/2 * a * t^2
  9.   = (2S / T) * t - 1/2 * (2S / T^2) * t^2
  10.   = 2S * (t / T) - S * (t^2 / T^2)
  11.   = 2S * p - S * p^2
  12.   = S * p * (2 - p)
复制代码

  三.曲线运动

  简单的曲线运动可以分解成直线运动,例如正弦函数 y = sinx 可以分解为:
  1. // x轴匀速直线
  2. x = S * p = 2PI * p
  3. // y轴sinx
  4. y = sinx = sin(2PI * p)
复制代码

  平抛运动可以分解为:
  1. // x轴匀速直线
  2. x = S * p = X * p
  3. // y轴匀加速
  4. y = S * p^2 = Y * p^2
复制代码

  抛物线的左半边可以看作向左平抛的逆向运动:
  1. // x轴匀速直线
  2. x = S * p = X * p
  3. // y轴匀减速
  4. y = S * p * (2 - p) = Y * p * (2 - p)
复制代码

  圆周运动稍微特殊一点,代数方程 (x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2 ,计算 x, y 存在取正负号的问题(比较麻烦,但可行),所以考虑用参数方程:
  1. // 对于圆上任意一点,有
  2. sinθ = y / r, cosθ = x / r
  3. // 得参数方程
  4. x = a + r * cosθ, y = b + r * sinθ

  5. // 圆心为(0, 0)时
  6. x = r * cosθ = r * cos(θ * p), y = r * sinθ = r * sin(θ * p)
复制代码

  角度 [0, 2PI] 均匀变化, x, y 随角度变化

  P.S.圆周运动用极坐标解释起来有些 牵强 ( r(θ) = r ,设置圆心,再 [0, 360] 均匀 rotate ,没有 transform 的时代要怎么计算位置?)

  四.easing函数

  对比上面得出的公式:
  1. s = S * p               // 匀速
  2. s = S * p^2             // 匀加速
  3. s = S * p * (2 - p)     // 匀减速
  4. s = S * cos(2PI * p)    // cos
  5. s = S * sin(2PI * p)    // sin
复制代码

  发现总位移 S 不变,后面的部分不同,所以:
  1. var easings = {
  2.     linear: function(p) { return p; },
  3.     acceleration: function(p) { return p * p; },
  4.     deceleration: function(p) { return p * (2 - p); },
  5.     sin: function(p) { return Math.sin(2 * Math.PI * p); },
  6.     cos: function(p) { return Math.cos(2 * Math.PI * p); }
  7. }
复制代码

  这些 easing 函数用来修正 p ,所以动画应该是:
  1. // 任意时刻t对应的位移
  2. st = s0 + S * easing(p)
  3. // 即
  4. // 当前值 = 初始值 + totalDelta * easing函数修正后的完成度
复制代码

  因为 p = t / T ,所以实际上 easing 作用于 t ,也叫 时间控制函数 ( timingFunction )

  动画库都是这样干的,例如 jQuery :
  1. // from https://github.com/jquery/jquery/blob/2d4f53416e5f74fa98e0c1d66b6f3c285a12f0ce/src/effects/Tween.js
  2. jQuery.easing = {
  3.     linear: function( p ) {
  4.         return p;
  5.     },
  6.     swing: function( p ) {
  7.         return 0.5 - Math.cos( p * Math.PI ) / 2;
  8.     },
  9.     _default: "swing"
  10. };
  11. velocity :

  12. // from https://github.com/ayqy/velocity-1.4.1/blob/master/velocity.js
  13. Velocity.Easings = {
  14.     linear: function(p) {
  15.     // 线性,直接返回完成度
  16.         return p;
  17.     },
  18.     swing: function(p) {
  19.     // 两头慢中间快,cos从+1到-1变化,中间斜率最大变化最快
  20.         return 0.5 - Math.cos(p * Math.PI) / 2;
  21.     },
  22.     /* Bonus "spring" easing, which is a less exaggerated version of easeInOutElastic. */
  23.     spring: function(p) {
  24.     // easeInOutElastic的温和版
  25.         return 1 - (Math.cos(p * 4.5 * Math.PI) * Math.exp(-p * 6));
  26.     }
  27. };
复制代码

  其它复杂的 easing ,比如摩擦力( spring )、重力( bounce )等物理效果,常见的时间控制 easing 系列(各种Bezier曲线对应的缓动函数), step 效果也是同样的原理,修正完成度,也就是所谓的速度控制

  五.在线Demo 

  通过 velocity 自定义 easing 和 Redirects 来实现这些曲线轨迹,例如:
  1. // 自定义缓动函数
  2. // 匀加速
  3. Velocity.Easings.acceleration = function (p, opts, tweenDelta) {
  4.     return p * p;
  5. };
  6. // 匀减速
  7. Velocity.Easings.deceleration = function (p, opts, tweenDelta) {
  8.     return p * (2 - p);
  9. };

  10. // 自定义动画效果
  11. Velocity.Redirects['throw-h'] = function(element, options, elementsIndex, elementsSize, elements, promiseData) {
  12.     Velocity(this, {
  13.         translateX: [300, 'linear', 0],
  14.         translateY: [300, 'acceleration', 0]
  15.     }, options);
  16. };

  17. // run
  18. Velocity(document.body, 'throw-h', 3000);
复制代码

  详细见Demo: http://ayqy.net/temp/curve-path-animation.html

  Demo过程中发现 velocity 在完成度为1时,会强制赋值一遍终点,这在 sin 之类的场景下 有问题 ,源码如下:
  1. else if (percentComplete === 1) {
  2. // 已完成,手动赋值,确保终点准确(不受计算精度影响)
  3. //!!! 不应该手动赋值终点了,因为sin之类的,终点是0
  4. //!!! 强制赋值就错了
  5.     /* If this is the last tick pass (if we've reached 100% completion for this tween),
  6.      ensure that currentValue is explicitly set to its target endValue so that it's not subjected to any rounding. */
  7.     // currentValue = tween.endValue;
  8.     currentValue = tween.currentValue;
  9. }
复制代码

  修复方法是信任 easing 函数(直接去掉上面这部分内容),终点处也通过 easing 计算得到当前值,这样做的缺点是存在计算精度的问题,比如 sin 在 2PI 为0,计算结果是一个极小值,而不是0,但没什么实际影响

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发表于 2017-1-11 15:08:07 来自手机 | 显示全部楼层
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发表于 2017-1-11 15:08:09 | 显示全部楼层
经常看到”cat77“发帖,辛苦了
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